【2倍角の公式】
一般角 \(\alpha\) に対し、
\[\begin{alignat*}{3}
\cos 2\alpha&=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha \\
&=2\cos^{2}\alpha-1 \\
&=1-2\sin^{2}\alpha
\end{alignat*}\]
\[\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\]
\[\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}\]
【半角の公式】
一般角 \(\alpha\) に対し、
\[\cos^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}\]
\[\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}\]
\[\tan^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\]
【（発展）3倍角の公式】
一般角 \(\alpha\) に対し、
\[\cos 3\alpha=4\cos^{3}\alpha-3\cos\alpha\]
\[\sin 3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^{3}\alpha\]
\[\tan 3\alpha=\frac{3\tan\alpha-\tan^{3}\alpha}{1-3\tan^{2}\alpha}\]
今回は、三角関数の公式の中でも、比較的使う頻度の高い、倍角の公式・半角の公式を解説します。
これらの公式は、三角関数を含む方程式の解の個数を調べる問題など、発展的な問題の式変形で、よく現れるものになります。
特に、数学IIIの積分の問題では、これらの公式を知らないと、手も足も出ない、といった問題も少なくありません。
ぜひ、応用問題に挑むための基礎固めとして、これらの公式をしっかりと身に着けていきましょう！
なお、積→和の公式・和→積の公式など、三角関数に関する公式は多種多様に存在するのですが、それほど出題頻度も高くなく、形も結構ややこしいため、丸暗記には向いていない気がします。
（導出方法だけ覚えて、試験の現場で必要に応じて導出すればOK）
そのため、これらの公式については、今回の解説からは除外しています。
解説
（復習）三角関数の基本性質・加法定理
今回の解説では、「三角関数の基本性質」と「加法定理」を利用して、各種の公式を導出していきますので、先に、簡単に、これらの復習をしておきましょう。
三角関数の基本性質
【三角関数の基本性質】
一般角 \(\theta\) に対して、
\[\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1\]
\[\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\]
加法定理
【\(\cos\) の加法定理】
一般角 \(\alpha，\beta\) に対し、
\[\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\]
【\(\sin\) の加法定理】
一般角 \(\alpha，\beta\) に対し、
\[\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\]
【\(\tan\) の加法定理】
一般角 \(\alpha，\beta\) に対し、
\[\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\]
なお、加法定理については、こちらのページで解説していますので、併せてご覧下さい。
2倍角の公式・半角の公式
それでは、早速、各公式の導出に入っていきましょう。
\(\cos\) の2倍角の公式・半角の公式
\(\cos\) の加法定理より、
\[\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\]
この \(\beta\) は一般角で成立するので、\(\beta=\alpha\) を代入しても成立します。実際に代入してみると、
\[\cos(\alpha+\alpha)=\cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha\]
\[\therefore\ \cos 2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha\]
ここで、三角関数の基本性質より \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\) \(\Leftrightarrow\) \(\sin^{2}\alpha=1-\cos^{2}\alpha\) なので、
\[\begin{alignat*}{3}
\cos 2\alpha&=\cos^{2}\alpha-(1-\cos^{2}\alpha) \\
&=2\cos^{2}\alpha-1
\end{alignat*}\]
同様に、\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\) \(\Leftrightarrow\) \(\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha\) なので、
\[\begin{alignat*}{3}
\cos 2\alpha&=1-\sin^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha \\
&=1-2\sin^{2}\alpha
\end{alignat*}\]
となり、\(\cos\) の2倍角の公式が導けました。
ここで、先ほど導出した「\(\cos 2\alpha=2\cos^{2}\alpha-1\)」という関係において、\(\alpha=\frac{\alpha’}{2}\) とおくと、
\[\begin{alignat*}{3}
&\cos \Bigl(2\cdot\frac{\alpha’}{2}\Bigr)=2\cos^{2}\frac{\alpha’}{2}-1 \\
\Leftrightarrow\ &\cos\alpha’=2\cos^{2}\frac{\alpha’}{2}-1
\end{alignat*}\]
\[\therefore\ \cos^{2}\frac{\alpha’}{2}=\frac{1+\cos\alpha’}{2}\]
改めて、\(\alpha’\) を \(\alpha\) と置きなおすと、
\[\cos^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}\]
となり、\(\cos\) の半角の公式が導けました。
\(\sin\) の2倍角の公式・半角の公式
次に、\(\sin\) の加法定理より、
\[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\]
\(\cos\) のときと同様に、\(\beta=\alpha\) を代入してみると、
\[\sin(\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha\]
\[\therefore\ \sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\]
となり、\(\sin\) の2倍角の公式が導けました。
ここで、先ほど導出した \(\cos\) の2倍角の公式「\(\cos 2\alpha=1-2\sin^{2}\alpha\)」という関係において、\(\alpha=\frac{\alpha’}{2}\) とおくと、
\[\begin{alignat*}{3}
&\cos \Bigl(2\cdot\frac{\alpha’}{2}\Bigr)=1-2\sin^{2}\frac{\alpha’}{2} \\
\Leftrightarrow\ &\cos\alpha’=1-2\sin^{2}\frac{\alpha’}{2}
\end{alignat*}\]
\[\therefore\ \sin^{2}\frac{\alpha’}{2}=\frac{1-\cos\alpha’}{2}\]
改めて、\(\alpha’\) を \(\alpha\) と置きなおすと、
\[\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}\]
となり、\(\sin\) の半角の公式が導けました。
（補足）
上で得られた、2倍角の公式・半角の公式でにおいても、当然、三角関数の基本性質が成立していてほしいところですが、
\[\begin{alignat*}{3}
&\sin^{2}\frac{\alpha}{2}+\cos^{2}\frac{\alpha}{2} \\
&=\frac{1-\cos\alpha}{2}+\frac{1+\cos\alpha}{2} \\
&=\bigl(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\bigr)+\bigl(\frac{\cos\alpha}{2}-\frac{\cos\alpha}{2}\bigr) \\
&=1
\end{alignat*}\]
となり、確かに、\(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1\) を満たしていることがわかります。
その他の三角関数の基本性質も満たすことが確認できますので、ぜひ試してみてください！
\(\tan\) の2倍角の公式・半角の公式
三角関数の基本性質より、\(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) なので、この式に \(\theta=2\alpha\) を代入すると、
\[\begin{alignat*}{3}
\tan2\alpha&=\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} \\
&\stackrel{\mathrm{(※)}}{=}\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha} \\
&=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha\times\frac{1}{\cos^{2}\alpha}}{(\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha)\times\frac{1}{\cos^{2}\alpha}} \\
&=\frac{2\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\cos^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}-{\bigl(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\bigr)}^{2}} \\
&=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}\ (\because\ \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta})
\end{alignat*}\]
となり、\(\tan\) の2倍角の公式が導けました。
※この変形では、上で求めた「\(\cos\) の2倍角の公式」「\(\sin\) の2倍角の公式」を利用しています
また同様に、三角関数の基本性質より、\(\tan^{2}\theta={(\frac{\sin\theta}{\cos\theta})}^{2}\) なので、この式に \(\theta=\frac{\alpha}{2}\) を代入すると、
\[\begin{alignat*}{3}
\tan^{2}\frac{\alpha}{2}&={\Bigl(\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}\Bigr)}^{2} \\
&={\frac{\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}} \\
&\stackrel{\mathrm{(※)}}{=}\frac{\frac{1-\cos\alpha}{2}}{\frac{1+\cos\alpha}{2}} \\
&=\frac{\frac{1-\cos\alpha}{2}\times 2}{\frac{1+\cos\alpha}{2}\times 2} \\
&=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}
\end{alignat*}\]
となり、\(\tan\) の半角の公式が導けました。
※この変形では、上で求めた「\(\cos\) の半角の公式」「\(\sin\) の半角の公式」を利用しています
ここまで2倍角の公式・半角の公式を見てきましたが、
ポイントは、ズバリ、「加法定理」と、「\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)」「\(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)」から、式変形により、各公式を導出した、ということです。
つまり、最低限、「加法定理」と「三角関数の基本性質」だけ覚えておけば、もし忘れてしまっても、試験の現場で導出できます。
（ぶっちゃけ、私自身、あまり公式を覚えるのが得意じゃないため、その場で毎回公式を導出することが結構あります。。）
2倍角の公式・半角の公式は、「加法定理」と、「三角関数の基本性質」から導出できる！
（発展）3倍角の公式
最後に、3倍角の公式を見ていきましょう。こちらも、2倍角の公式・半角の公式と同様に、「加法定理」と、「三角関数の基本性質」を用いて導出していきます。
なお、高校の教科書では、あまり書かれていないことが多いようで（発展）としましたが、入試問題などでは比較的よく使うものなので、ぜひ、基礎固めの一環として、こちらもしっかりと身に着けておきましょう。
\(\cos\) の3倍角の公式
\(\cos\) の加法定理より、
\[\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\]
\(\beta=2\alpha\) を代入すると、
\[\begin{alignat*}{3}
\cos(\alpha+2\alpha)&=\cos\alpha\cos2\alpha-\sin\alpha\sin2\alpha \\
&\stackrel{\mathrm{(※)}}{=}\cos\alpha\cdot(2\cos^{2}\alpha-1)-\sin\alpha\cdot(2\sin\alpha\cos\alpha) \\
&=2\cos^{3}\alpha-\cos\alpha-2\sin^{2}\alpha\cos\alpha \\
&=2\cos^{3}\alpha-\cos\alpha-2(1-\cos^{2}\alpha)\cdot\cos\alpha \\
&=2\cos^{3}\alpha-\cos\alpha+2\cos^{3}\alpha-2\cos\alpha
\end{alignat*}\]
\[\therefore\ \cos 3\alpha=4\cos^{3}\alpha-3\cos\alpha\]
\(\sin\) の3倍角の公式
\(\sin\) の加法定理より、
\[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\]
\(\beta=2\alpha\) を代入すると、
\[\begin{alignat*}{3}
\sin(\alpha+2\alpha)&=\sin\alpha\cos2\alpha+\cos\alpha\sin2\alpha \\
&\stackrel{\mathrm{(※)}}{=}\sin\alpha\cdot(1-2\sin^{2}\alpha)+\cos\alpha\cdot(2\sin\alpha\cos\alpha) \\
&=\sin\alpha-2\sin^{3}\alpha+2\sin\alpha\cos^{2}\alpha \\
&=\sin\alpha-2\sin^{3}\alpha+2\sin\alpha\cdot(1-\sin^{2}\alpha) \\
&=\sin\alpha-2\sin^{3}\alpha+2\sin\alpha-2\sin^{3}\alpha \\
&=3\sin\alpha-4\sin^{3}\alpha
\end{alignat*}\]
\[\therefore\ \sin 3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^{3}\alpha\]
\(\tan\) の3倍角の公式
\(\tan\) の加法定理より、
\[\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\]
\(\beta=2\alpha\) を代入すると、
\[\begin{alignat*}{3}
\tan(\alpha+2\alpha)&=\frac{\tan\alpha+\tan2\alpha}{1-\tan\alpha\tan2\alpha} \\
&\stackrel{\mathrm{(※)}}{=}\frac{\tan\alpha+\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}}{1-\tan\alpha\cdot\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}} \\
&=\frac{(\tan\alpha+\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha})\cdot(1-\tan^{2}\alpha)}{(1-\frac{2\tan^{2}\alpha}{1-\tan^{2}\alpha})\cdot(1-\tan^{2}\alpha)} \\
&=\frac{\tan\alpha\cdot(1-\tan^{2}\alpha)+2\tan\alpha}{(1-\tan^{2}\alpha)-2\tan^{2}\alpha} \\
&=\frac{\tan\alpha-\tan^{3}\alpha+2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha-2\tan^{2}\alpha}
\end{alignat*}\]
\[\therefore\ \tan3\alpha=\frac{3\tan\alpha-\tan^{3}\alpha}{1-3\tan^{2}\alpha}\]
（補足）
\(\tan\) の3倍角の公式について、上では \(\tan\) の加法定理から求めましたが、三角関数の基本性質「\(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)」を用いても、同じ結果になることがわかります。
\[\begin{alignat*}{3}
&\tan3\alpha=\frac{\sin3\alpha}{\cos3\alpha} \\
&\stackrel{\mathrm{(※)}}{=}\frac{3\sin\alpha-4\sin^{3}\alpha}{4\cos^{3}\alpha-3\cos\alpha} \\
&=\frac{(3\sin\alpha-4\sin^{3}\alpha)\times\frac{1}{\cos^{3}\alpha}}{(4\cos^{3}\alpha-3\cos\alpha)\times\frac{1}{\cos^{3}\alpha}} \\
&=\frac{3\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{1}{\cos^{2}\alpha}-4\cdot{\bigl(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\bigr)}^{3}}{4-3\cdot\frac{1}{\cos^{2}\alpha}} \\
&=\frac{3\tan\alpha\cdot(1+\tan^{2}\alpha)-4\tan^{3}\alpha}{4-3\cdot(1+\tan^{2}\alpha)} \\
&=\frac{3\tan\alpha+3\tan^{3}\alpha-4\tan^{3}\alpha}{4-3-3\tan^{2}\alpha}
\end{alignat*}\]
\[\therefore\ \tan3\alpha=\frac{3\tan\alpha-\tan^{3}\alpha}{1-3\tan^{2}\alpha}\]
（Appendix）\(\cos，\)\(\sin\) の3倍角の公式の覚え方
3倍角の公式は、上で見てきたように、試験の現場で導出できないわけではないのですが、結構使う場面が多いので、なるべくなら覚えたいものになります。
ただ、似たような形をしていて、覚えづらいのがネックになります。
一応、語呂合わせで覚える方法もあるようなのですが、いまいちピンと来ず、お困りの方も多いのではないかと思います。
そこで、ここでは、私がどうやって覚えているかをご紹介します。もしよろしければ、利用してみてください！
【3倍角の公式の覚え方】（筆者オリジナル）
\[\cos 3\alpha=4\cos^{3}\alpha-3\cos\alpha\]
\[\sin 3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^{3}\alpha\]
- 3乗-1乗、または、1乗-3乗の形をしている
- 1乗の係数は「3」、3乗の係数は「4」
- \(\sin\) は1乗が先（もしくは、\(\cos\) は3乗が先）（※）
※ここでのポイントは、両方とも覚えようとしないことです。
片方が決まれば、もう片方は自ずと決まるので、どちらか片方を覚えることに集中しましょう。（私自身は、\(\sin\) の方だけ覚えています）
語呂合わせによる覚え方もご紹介します。
【3倍角の公式の覚え方】（語呂合わせ）
\[\cos 3\alpha=4\cos^{3}\alpha-3\cos\alpha\]
\[\sin 3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^{3}\alpha\]
- \(\cos\)：良い 子 参上 して み こし 引く
- \(\sin\)：サン シャイン 引いて 夜風が 身に染みる
おわりに
お疲れさまでした！今回は、倍角の公式・半角の公式を解説しました。
各公式の求め方を見るとご理解いただけるのではないかと思いますが、「\(\sin\) の5倍角」や「\(\cos\) の10倍角」など、「加法定理」と「三角関数の基本性質」を利用すれば、作ろうと思えば、いくらでも関係式を導出できます。ここが非常に重要なポイントです。
例えば、「\(\sin18\)° の値を求めたい！」となったときを考えます。
愚直に求めようと思うと、直角三角形を紙に書いて \(\frac{(対辺)}{(斜辺)}\) を計算することになります。
一方で、\(18\)°\(=90\)°\(\div5\) であることを利用すれば、\(\sin90\)°\(=1\) を利用して、「\(\sin\) の5倍角」として求めることができます。
※実際には、5次方程式の形が出てきてしまうため、具体的な値を求めるためには、少々工夫が必要です
なお、\(\sin18\)° を求める過程で現れる5次方程式に関する問題は、大学入試の問題でも比較的、出題頻度が高いものになります。また、別の機会にご紹介する予定です。
ぜひ、単に倍角の公式・半角の公式を丸暗記するだけでなく、「加法定理」と「三角関数の基本性質」からどのように導出したか、という部分を意識して、様々な拡張にも対応できるように準備しておきましょう！
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