微分の公式（定数係数・関数の和差と微分の関係）

解説

定数係数と微分の関係

関数 \(f\) の微分の定義は、次の通りです。

\[f'(x)\stackrel{\mathrm{def}}{=} \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

したがって、関数 \(f\) を \(k\) 倍した関数 \(kf\) の微分は、以下のように表せます。

\[\{kf(x)\}’=\lim_{h\to 0}\frac{\{kf(x+h)\}-\{kf(x)\}}{h}\]

この式を変形すると、

\[\begin{alignat*}{3}
\{kf(x)\}’&=\lim_{h\to 0}\frac{\{kf(x+h)\}-\{kf(x)\}}{h} \\
&=\lim_{h\to 0}\ k\cdot\biggr\{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\biggr\} \\
&=k\cdot\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
&=kf'(x)\qquad(\because 関数\ f\ の微分の定義)
\end{alignat*}\]

となり、定数係数と微分の関係が導けました。

関数の和・差と微分の関係

次に、複数の関数 \(f，g\) が足し算・引き算で結ばれている関数 \(\{f+g\}\) の微分を考えます。

こちらも微分の定義から、以下のように表せます。

\[\{f(x)+g(x)\}’=\lim_{h\to 0}\frac{\{f(x+h)+g(x+h)\}-\{f(x)+g(x)\}}{h}\]

この式を変形すると、

\[\begin{alignat*}{3}
\{f(x)+g(x)\}’&=\lim_{h\to 0}\frac{\{f(x+h)+g(x+h)\}-\{f(x)+g(x)\}}{h} \\
&=\lim_{h\to 0}\biggr\{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\biggr\} \\
&=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h} \quad(※)\\
&=f'(x)+g'(x)\qquad(\because 関数\ f，g\ の微分の定義)
\end{alignat*}
\]

となり、複数の関数と微分の関係が導けました。

（※）\(\lim\) の中の足し算・引き算を分割するためには、本来は、分解した後の関数が、いずれも収束することを確認する必要があります。
ただし、今回の議論では、関数 \(f，g\) がいずれも微分可能である（＝収束する）ことを前提にしているため、ここでは当然に分割可能なものとして扱っています。

（補足）2つの関係を、1つにまとめる

上で得られた2つの関係ですが、他の教科もあるし、なるべく覚えることを少なくしたいところ・・・
そこで、2つの関係を、1つにまとめることを考えます。

関数 \(f\)，\(g\) と定数 \(k\)，\(l\) に対し、

\[\{kf(x)+lg(x)\}’\]

を式変形すると、

\[\begin{alignat*}{3}
\{kf(x)+lg(x)\}’&=\{kf(x)\}’+\{lg(x)\}’\quad&&(\because 2つ目の関係「関数の和・差と微分の関係」より) \\
&=kf'(x)+lg'(x)&&(\because 1つ目の関係「定数係数と微分の関係」より)
\end{alignat*}\]

となり、1つの式にまとめることができました。この式から、微分の計算をするときは、

• 定数倍は微分の外に出せる
• 足し算・引き算を、バラバラにできる

ということがわかりました。（難しい言葉で、このような性質を　線形性がある　といいます）

おわりに

今回は、定数係数と微分の関係・関数の和差と微分の関係を解説しました。

これらの関係については、受験数学の中では、式変形を行う中で、当然に出てくるものとなります。
ぜひ、理解できるまで何度もこのページを読み返して、脊髄反射で式変形ができるように練習してみてください！

ちなみに、補足として記載した「線形性」ですが、少し慣れている人であれば、どちらも当たり前じゃない？と思われた方もいらっしゃるかもしれません。
でも、実は、この線形性は当たり前に成り立つものではありません。

例えば、\(f(x)={x}^{2}\) という関数 \(f\) を考えると、

1つ目の関係（定数を外に出せる）は、

\[\begin{alignat*}{3}
f(ax)&={(ax)}^{2}={a}^{2}\cdot{x}^{2} \\
&\ne a\cdot{x}^{2}=a\cdot f(x)
\end{alignat*}\]

2つ目の関係（足し算・引き算をバラバラにできる）は、

\[\begin{alignat*}{3}
f(x+y)&={(x+y)}^{2}={x}^{2}+2xy+{y}^{2} \\
&\ne{x}^{2}+{y}^{2}=f(x)+f(y)
\end{alignat*}\]

となり、線形性の2つの関係は、いずれも満たさないことがわかります。

線形性については、このページの趣旨を大きく飛び出してしまうため、こちらでの詳しい解説は省略しますが、興味がある方は、ぜひコメントよりご連絡いただけると嬉しいです！
解説ページを作成するようにします。