【対称式とは】
\(x\) と \(y\) を入れ替えても、同じ整式となるような整式を対称式という。
＜対称式の例＞
\(x+y，\)\(3{x}^{2}+3{y}^{2}，\)\(xy，\)\(\frac{xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}\)
＜対称式でないものの例＞
\({x}^{2}+y，\)\({x}^{2}-{y}^{2}，\)\(\frac{x}{y}\)
【基本対称式とは】
対称式の中でも、特に、「対称式の素（もと）」になる対称式。
あらゆる対称式は、基本対称式で表すことができる。（対称式の基本定理）
＜2次の基本対称式（2つ）＞
\(x+y\)，\(xy\)
＜3次の基本対称式（3つ）＞
\(x+y+z\)，\(xy+yz+zx\)，\(xyz\)
※一般に、 \(n\) 次の基本対称式は、\(n\) 個存在する
今回は、対称式・基本対称式を解説していきます。
こちらの分野は、「対称式の基本定理」など、重要な定理は存在するのですが、大学入試に限って言えば、とにかく公式として使いこなせることが最も重要になります。
そのため、今回の解説では、「公式の紹介」と、例題を解く部分にスポットを当てており、基礎からしっかり学びたいよーという方にとっては、うってつけの内容になっています。
ぜひ最後までご覧いただき、しっかりとした基礎固めをしていきましょう！
解説
基本対称式を使った公式（変数が2つの場合）
\({x}^{2}+{y}^{2}={(x+y)}^{2}-2xy\)
まずは、こちらの公式です。
＜導出＞
\({(x+y)}^{2}=\) \({x}^{2}+2xy+{y}^{2}\) より、\({x}^{2}+{y}^{2}={(x+y)}^{2}-2xy\)となります
＜例題＞
\(x+y=5，\)\(xy=2\) のとき、\({x}^{2}+{y}^{2}\) を求めよ
＜解答＞
\({x}^{2}+{y}^{2}=\) \({(x+y)}^{2}-2xy=\) \({5}^{2}-2\cdot 2=\) \(25-4=\) \(21\)
ちなみに、未知数が \(x，\)\(y\) の2つに対して、\(x+y=5，\)\(xy=2\) の2つの関係式が与えられているため、具体的に \(x，\)\(y\) の値を求めることもできます。
解と係数の関係の逆から、\(x，\)\(y\) は、\({t}^{2}-(x+y)t+xy=0\) の解です。
（「解と係数の関係の逆」については、こちらをご覧ください）
ここに、与えられた関係式 \(x+y=5，\)\(xy=2\) を代入して、\({t}^{2}-5t+2=0\)
これを解くと、\(t=\frac{{-(-5)}\pm\sqrt{{(-5)}^{2}-4\cdot 1\cdot 2}}{2}\) \(=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2}\)
例えば、\(x>y\) として、\(x=\frac{5+\sqrt{17}}{2}，\)\(y=\frac{5-\sqrt{17}}{2}\) とすると、
\[\begin{alignat*}{3}
&{x}^{2}+{y}^{2} \\
&={\biggl(\frac{5+\sqrt{17}}{2}\biggr)}^{2}+{\biggl(\frac{5-\sqrt{17}}{2}\biggr)}^{2} \\
&={\small\frac{(25+10\sqrt{17}+17)+(25-10\sqrt{17}+17)}{4}} \\
&=\frac{84}{4}=21
\end{alignat*}\]
となり、一致することがわかります。
、、、が、基本対称式を利用すれば、たった1行で終わったところ、かなりの行数を使ってしまったことがわかります。さらに、「ルート√」の計算も出てきません。
このことからも、基本対称式の威力・ありがたさを感じていただけるのではないかと思います。
\({(x-y)}^{2}={(x+y)}^{2}-4xy\)
続いてはこちらです。
＜導出＞
\[\begin{alignat*}{3}
{(x-y)}^{2}+4xy&=({x}^{2}-2xy+{y}^{2})+4xy \\
&={x}^{2}+2xy+{y}^{2} \\
&={(x+y)}^{2}
\end{alignat*}\]
\[\therefore\ {(x-y)}^{2}={(x+y)}^{2}-4xy\]
＜例題＞
\(x+y=\frac{7}{3}，\)\(xy=-\frac{1}{3}\) \((x>y)\) のとき、\(x-y\) を求めよ
＜解答＞
\({(x-y)}^{2}=\) \({(x+y)}^{2}-4xy=\) \({\Bigl(\frac{7}{3}\Bigr)}^{2}-4\cdot\Bigl(-\frac{1}{3}\Bigr)=\) \(\frac{49-4}{9}=\) \(5\)
今、\(x>y\) \(\Leftrightarrow\) \(x-y>0\) なので、\(x-y=\) \(\sqrt{5}\) と求められました。
\({x}^{3}+{y}^{3}={(x+y)}^{3}-3xy(x+y)\)
続いてはこちらです。
＜導出＞
\[\begin{alignat*}{3}
{(x+y)}^{3}&={x}^{3}+3{x}^{2}y+3x{y}^{2}+{y}^{3} \\
&={x}^{3}+{y}^{3}+3xy(x+y) \\
\end{alignat*}\]
\[\therefore\ {x}^{3}+{y}^{3}={(x+y)}^{3}-3xy(x+y)\]
＜例題＞
\(x+y=\frac{7}{3}，\)\(xy=-\frac{1}{3}\) のとき、\({x}^{3}+{y}^{3}\) を求めよ
＜解答＞
\({x}^{3}+{y}^{3}=\) \({(x+y)}^{3}-3xy(x+y)=\) \({\Bigl(\frac{7}{3}\Bigr)}^{3}-3\cdot\Bigl(-\frac{1}{3}\Bigr)\cdot\frac{7}{3}=\) \(\frac{343+63}{27}=\) \(\frac{406}{27}\)
基本対称式を使った公式（変数が3つの場合）
\({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}\) \(={(x+y+z)}^{2}\) \(-2xy-2yz-2zx\)
＜導出＞
\[\begin
\({x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3}-3xyz\) \(=(x+y+z)\cdot\)\(({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}-xy-yz-zx)\)
最後は、こちらの公式です。
高校の授業ではあまり扱われないようなのですが、難関大学の入試では、ちょくちょく出てくる非常に重要なものですので、ぜひ合わせて押さえてしまいましょう。
なお、こちらの公式は、結構覚えにくいのがネックで、覚え方をこちらのページでご紹介しています。よろしければ、併せてご覧ください。
おわりに
逆に中上級者以上の方にとっては、少々物足りないものになっているかもしれません。今回は紹介しきれなかった「対称式の基本定理」なども、別の機会に開設する予定ですので、ぜひ、楽しみにお待ちいただければうれしいです！
コメント