【整式の割り算】重解型の余りの求め方（③微分）

今回は、微分による、整式の割り算の余りの求め方を解説します。

こちらの方法は、割る式が重解型のときに、利用する方法です。
重解型の余りは、以下のようにいくつか求め方があるのですが、最も汎用的で、あらゆる場合に対応できる万能な方法です。

方法	割られる式		割る式			その他		方法
	単項式	多項式	累乗		複数の因数 例：\((x-\alpha){(x-\beta)}^{2}\)	計算量	必要な知識
			2次	3次 以上
次数下げ	○	×	○	×	○	多い	\(n\) 乗-\(n\) 乗の因数分解 （数学IIまででOK）	次数下げ
二項定理	○	×	○	○	×	少ない	二項定理が必要 （数学IIまででOK）	二項定理
微分 （数学III） ※今回	○	○	○	○	○	比較的 少なめ	積の微分 （数学IIIの知識が必要）	微分 （数学III） ※今回

非常に万能であるがゆえ、この方法だけ覚えておけばよい、のですが、1点だけネックがあります。
それは、数学IIIの知識が必要、ということ。

そこで、解説に入る前に、事前準備として、今回利用する「積の微分」「合成関数の微分」を確認しています。忘れてしまった場合は、適宜こちらに戻ってきてください。（すでに知っているよ！という方は、飛ばしていただければと思います）

ぜひ、数学IIIは勉強してないよという方や、受験で使わないので勉強しない予定という方も、全く難しくないので、併せて勉強してみましょう！

（事前準備）積の微分・合成関数の微分

2つの関数が与えられたとき、このような関係が成り立ちます。
ただ、これだけでは「何を言っているか、全く分からん！」だと思うので、それぞれ具体例を見てみましょう。

積の微分

＜具体例（積の微分）＞
\(h(x)={x}^{3}(2x+1)\) を \(x\) で微分する

＜解答＞
\(f(x)={x}^{3}，\)\(g(x)=2x+1\) と置くと、\(h(x)=f(x)\cdot g(x)\) となります。
また、\(f'(x)=3{x}^{2}，\)\(g'(x)=2\) です。（これは、数学IIの範囲です）

ここで、「積の微分」を考えると、

\[\begin{alignat*}{3}
h'(x)&=\{f(x)\cdot g(x)\}’ \\
&\stackrel{\mathrm{(※)}}{=}f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x) \\
&=3{x}^{2}\cdot (2x+1)+{x}^{3}\cdot 2 \\
&=8{x}^{3}+3{x}^{2}
\end{alignat*}\]

と求めることができました。

※こちらの操作で、「積の微分」を利用しています

ちなみに、数学IIで勉強するように、\(h(x)={x}^{3}(2x+1)\) の右辺を展開してから微分してみると、

\[\begin{alignat*}{3}
h(x)&={x}^{3}(2x+1) \\
&=2{x}^{4}+{x}^{3}
\end{alignat*}\]

\[\therefore\ h'(x)=8{x}^{3}+3{x}^{2}\]

となり、微分の結果が一致することがわかります。

合成関数の微分

次に、「合成関数の微分」についての具体例を見てみましょう。

＜具体例（合成関数の微分）＞
\(h(x)={(x+1)}^{4}\) を \(x\) で微分する

＜解答＞
\(f(x)={x}^{4}，\)\(g(x)=x+1\) と置くと、\(h(x)=f(g(x))\) となります。
（\(f(x)\) の \(x\) を \((x+1)\) に置き換えてみると、\(h(x)\) と同じ形をしていることがわかると思います）

また、\(f'(x)=4{x}^{3}，\)\(g'(x)=1\) です。（これは、数学IIの範囲です）

ここで、「合成関数の微分」を考えると、

\[\begin{alignat*}{3}
h'(x)&=\{f(g(x))\}’ \\
&\stackrel{\mathrm{(※1)}}{=}f'(g(x))\cdot g'(x) \\
&=f'(x+1)\cdot 1 \\
&\stackrel{\mathrm{(※2)}}{=}4{(x+1)}^{3}
\end{alignat*}\]

と求めることができました。

（※1）こちらの操作で、「合成関数の微分」を利用しています
（※2）こちらの操作では、\(f'(x)=4{x}^{3}\) の \(x\) を \((x+1)\) に置き換えています。

こちらでも、数学IIで勉強するように、\(h(x)={(x+1)}^{4}\) の右辺を展開してから微分してみると、

\[\begin{alignat*}{3}
h(x)&={(x+1)}^{4} \\
&={x}^{4}+4{x}^{3}+6{x}^{2}+4x+1
\end{alignat*}\]

\[\begin{alignat*}{3}
\therefore\ h'(x)&=4{x}^{3}+12{x}^{2}+12x+4 \\
&=4({x}^{3}+3{x}^{2}+3x+1) \\
&=4{(x+1)}^{3}
\end{alignat*}\]

となり、微分の結果が一致することがわかります。

解説

割られる式が単項式の場合

割る式が \({(x-\alpha)}^{k}\) の場合

それでは、先ほどの「積の微分」「合成関数の微分」を利用して、実際に余りを求めてみましょう。

＜例題＞
\({x}^{n}\) を \({(x-3)}^{3}\) で割った余りを求めよ

＜解答＞
整式を \(x\) の3次式で割った余りは、高々 \(x\) の2次式となるため、商 \(Q(x)\) を用いて、

\[{x}^{n}={(x-3)}^{3}Q(x)+a{x}^{2}+bx+c・・・①\]

と書くことができます。①の両辺に \(x=3\) を代入すると、

\[{3}^{n}={(3-3)}^{3}Q(3)+a\cdot{3}^{2}+b\cdot 3+c\]

\[\therefore\ c={3}^{n}-9a-3b・・・②\]

（ここからが、微分型の解法の特徴です）

①の両辺を \(x\) で微分すると、

\[\begin{alignat*}{3}
n{x}^{n-1}&=3{(x-3)}^{2}Q(x)+{(x-3)}^{3}Q'(x) \\
&\quad\quad+2ax+b・・・③
\end{alignat*}\]

③の両辺に \(x=3\) を代入して、

\[\begin{alignat*}{3}
n\cdot{3}^{n-1}&=3{(3-3)}^{2}Q(3)+{(3-3)}^{3}Q'(3) \\
&\quad\quad+2a\cdot x+b
\end{alignat*}\]

\[\therefore\ b=n\cdot{3}^{n-1}-6a・・・④\]

更にもう一度微分を行います。③の両辺を \(x\) で微分すると、

\[\begin{alignat*}{3}
&n(n-1){x}^{n-2} \\
&=6(x-3)Q(x)+3{(x-3)}^{2}Q'(x) \\
&\quad+3{(x-3)}^{2}Q'(x)+{(x-3)}^{3}Q^{”}(x) \\
&\quad+2a・・・⑤
\end{alignat*}\]

⑤の両辺に \(x=3\) を代入して、

\[\begin{alignat*}{3}
&n(n-1)\cdot{3}^{n-2} \\
&=6(3-3)Q(3)+3{(3-3)}^{2}Q'(3) \\
&\quad+3{(3-3)}^{2}Q'(3)+{(3-3)}^{3}Q^{”}(3) \\
&\quad+2a
\end{alignat*}\]

\[\therefore\ a=\frac{n(n-1)\cdot{3}^{n-2}}{2}・・・⑥\]

⑥を④に代入して、

\[\begin{alignat*}{3}
b&=n\cdot{3}^{n-1}-6\cdot\frac{n(n-1)\cdot{3}^{n-2}}{2} \\
&=-n(n-2)\cdot{3}^{n-1}・・・⑦
\end{alignat*}\]

⑥⑦を②に代入して、

\[\begin{alignat*}{3}
c&={\small{3}^{n}-9\cdot\frac{n(n-1)\cdot{3}^{n-2}}{2}-3\{-n(n-2)\cdot{3}^{n-1}\}} \\
&=\frac{(n-1)(n-2)\cdot{3}^{n}}{2}
\end{alignat*}\]

したがって、余りは、

\[\begin{alignat*}{3}
&\frac{n(n-1)\cdot{3}^{n-2}}{2}\cdot{x}^{2} \\
&\quad-n(n-2)\cdot{3}^{n-1}\cdot x \\
&\quad\quad+\frac{(n-1)(n-2)\cdot{3}^{n}}{2}
\end{alignat*}\]

と求めることができました！

※なお、二項定理による方法でも、当然、同じ結果が得られます。
同じ整式の割り算の余りを、二項定理で求めた場合は、こちらページで解説していますので、よろしければご覧ください

少し振り返ってみると、微分を繰り返し行うことで、余りの各文字に対する関係式を、連立方程式を解くのに必要な分だけ増やすことができました。

この「微分により関係式を増やす方法」を使えば、割る式に複数の因数を含む場合のような、少々複雑な形でも、うまく必要な分の関係式を得ることができます。

次の章では、割る式が複数の因数の場合を見ていきましょう。

割る式が \({(x-\alpha)}^{k}{(x-\beta)}^{l}\) の場合

＜例題＞
\({x}^{n}\) を \({(x+2)}^{2}{(x-3)}^{3}\) で割った余りを求めよ

＜解答＞
整式を \(x\) の5次式で割った余りは、高々 \(x\) の4次式となるため、商 \(Q(x)\) を用いて、

\[\begin{alignat*}{3}
{x}^{n}&={(x+2)}^{2}{(x-3)}^{3}Q(x) \\
&\quad+a{x}^{4}+b{x}^{3}+c{x}^{2}+dx+e・・・①
\end{alignat*}\]

と書くことができます。①の両辺に \(x=-2\) を代入すると、

\[\begin{alignat*}{3}
{(-2)}^{n}&={(-2+2)}^{2}{(-2-3)}^{3}Q(-2) \\
&\quad+a\cdot{(-2)}^{4}+b\cdot{(-2)}^{3} \\
&\quad\quad+c\cdot{(-2)}^{2}+d\cdot(-2)+e
\end{alignat*}\]

\[\therefore\ {(-2)}^{n}=16a-8b+4c-2d+e・・・②\]

同様に、①の両辺に \(x=3\) を代入すると、

\[\begin{alignat*}{3}
{3}^{n}&={(3+2)}^{2}{(3-3)}^{3}Q(3) \\
&\quad+a\cdot{3}^{4}+b\cdot{3}^{3} \\
&\quad\quad+c\cdot{3}^{2}+d\cdot 3+e
\end{alignat*}\]

\[\therefore\ {3}^{n}=81a+27b+9c+3d+e・・・③\]

（ここからが、微分型の解法の特徴です）

①の両辺を \(x\) で微分すると、

\[\begin{alignat*}{3}
n{x}^{n-1}&=2(x+2){(x-3)}^{3}Q(x) \\
&\quad+{(x+2)}^{2}\cdot 3{(x-3)}^{2}Q(x) \\
&\quad+{(x+2)}^{2}{(x-3)}^{3}Q'(x) \\
&\quad+4a{x}^{3}+3b{x}^{2}+2cx+d・・・④
\end{alignat*}\]

④の両辺に \(x=-2\) を代入すると、④の上3段は \(0\) になるので、

\[\begin{alignat*}{3}
&n\cdot{(-2)}^{n-1} \\
&{\small=4a\cdot{(-2)}^{3}+3b\cdot{(-2)}^{2}+2c\cdot(-2)+d} \\
&=-32a+12b-4c+d・・・⑤
\end{alignat*}\]

同様に、④の両辺に \(x=3\) を代入すると、④の上3段は \(0\) になるので、

\[\begin{alignat*}{3}
&n\cdot{3}^{n-1} \\
&=4a\cdot{3}^{3}+3b\cdot{3}^{2}+2c\cdot 3+d \\
&=108a+27b+6c+d・・・⑥
\end{alignat*}\]

更に、④の両辺を、\(x\) で微分します。
このとき、④の上3段の項を微分した結果には、必ず \((x-3)\) という因数が得られるため、\(x\) の整式 \(A(x)\) を用いて、

\[\begin{alignat*}{3}
n(n-1){x}^{n-2}&=(x-3)A(x) \\
&\quad+12a{x}^{2}+6bx+2c・・・⑦
\end{alignat*}\]

⑦の両辺に \(x=3\) を代入すると、\((3-3)A(3)=0\) なので、

\[\begin{alignat*}{3}
n(n-1)\cdot{3}^{n-2}&=12a\cdot{3}^{2}+6b\cdot x+2c \\
&=108a+18b+2c・・・⑧
\end{alignat*}\]

したがって、以下の通り、5つの未知数 \(a，\)\(b，\)\(c，\)\(d，\)\(e\)に対して、5つの関係式②③⑤⑥⑧が得られたため、5元1次連立方程式として解くことができます！

• ②：\(16a-8b+4c-2d+e\) \(={(-2)}^{n}\)
• ③：\(81a+27b+9c+3d+e\) \(={3}^{n}\)
• ⑤：\(-32a+12b-4c+d\) \(=n\cdot{(-2)}^{n-1}\)
• ⑥：\(108a+27b+6c+d\) \(=n\cdot{3}^{n-1}\)
• ⑧：\(108a+18b+2c\) \(=n(n-1)\cdot{3}^{n-2}\)

これを \(a，\)\(b，\)\(c，\)\(d，\)\(e\) について解くと、以下のようになります。（メチャクチャ計算が大変なため、結果だけを示します。（多分あってるはず。。））

\[\begin{pmatrix}
a \\ \\
b \\ \\
c \\ \\
d \\ \\
e
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
{\small\frac{n(5n-11)3^{n-2} + 2n(-2)^{n-1}}{260}} \\ \\
{\small\frac{n(n-1)(13\cdot3^{n-2} – 2(-2)^{n-1})}{130}} \\ \\
{\small\frac{n(17\cdot3^{n-2} + 4(-2)^{n-1})}{65}} \\ \\
{\small\frac{n(11\cdot3^{n-2} – 8(-2)^{n-1})}{65}} \\ \\
{\small\frac{3^n(130 – 18n^2 + 18n) – 36n(-2)^{n-1}}{260}}
\end{pmatrix}\]

したがって、余りは、以下のように求めることができました！

\[\begin{alignat*}{3}
&\frac{n(5n-11)3^{n-2} + 2n(-2)^{n-1}}{260}\cdot{x}^{4} \\
&\quad+\frac{n(n-1)(13\cdot3^{n-2} – 2(-2)^{n-1})}{130}\cdot{x}^{3} \\
&\quad+\frac{n(17\cdot3^{n-2} + 4(-2)^{n-1})}{65}\cdot{x}^{2} \\
&\quad+\frac{n(11\cdot3^{n-2} – 8(-2)^{n-1})}{65}\cdot x \\
&\quad+\frac{3^n(130 – 18n^2 + 18n) – 36n(-2)^{n-1}}{260}
\end{alignat*}\]

ここまでで割られる式が単項式の場合の、余りの求め方を見ました。

微分による求め方の場合、微分を繰り返せば、必要な分の式を用意できるため、原理的には、割る式の次数がどれだけ増えても、割る式の因数の種類がどれだけ増えても、余りを求められます。

これが非常にうれしいポイントで、「次数下げ（3次以上は×）」や「二項定理（複数の因数を含むと×）」では求められない余りも、求められるようになりました！
（当然、計算量は驚異的なスピードで跳ね上がりますが。。。）

最後に、次の章で多項式の場合を見ていきます。これを見れば、微分型の解法が、本当に使えるということを実感いただけると思います

割られる式が多項式の場合

割る式が \({(x-\alpha)}^{k}\) の場合

＜例題＞
\({x}^{n+2}+{x}^{n+1}-4{x}^{n}\) を \({(x-3)}^{3}\) で割った余り \((n\geqq 3)\)

＜解答＞
単項式の場合で求めた「\({x}^{n}\) を\({(x-3)}^{3}\) で割った余り」を利用します。

こちらの結果から、左辺の各項を余りは、以下のようになります。

①	\({x}^{n+2}\) を \({(x-3)}^{3}\) で割った余り	\(\frac{1}{2}\cdot{3}^{n}(n+2)(n+1){x}^{2}\) \(\quad-{3}^{n+1}(n+2)nx\) \(\quad+\frac{1}{2}\cdot{3}^{n+2}(n+1)n\)
②	\({x}^{n+1}\) を \({(x-3)}^{3}\) で割った余り	\(\frac{1}{2}\cdot{3}^{n-1}(n+1)n{x}^{2}\) \(\quad-{3}^{n}(n+1)(n-1)x\) \(\quad+\frac{1}{2}\cdot{3}^{n+1}n(n-1)\)
③	\({x}^{n}\) を \({(x-3)}^{3}\) で割った余り	\(\frac{1}{2}\cdot{3}^{n-2}n(n-1){x}^{2}\) \(\quad-{3}^{n-1}n(n-2)x\) \(\quad+\frac{1}{2}\cdot{3}^{n}(n-1)(n-2)\)

したがって、①+②-4×③を計算して、余りは、

\[\begin{alignat*}{3}
&{3}^{n-2}(4{n}^{2}+17n+9)\cdot{x}^{2} \\
&\quad-{3}^{n-1}(8{n}^{2}+26n-3)\cdot x \\
&\quad\quad+{3}^{n}(4{n}^{2}+9n-4)
\end{alignat*}\]

と求めることができました！

おわりに

お疲れさまでした！今回は、微分による、整式の割り算の余りの求め方を解説しました。

途中でも見てきた通り、微分型の解法であれば、（原理的には、）

• 割る式の次数がどれだけ増えても、
• 割る式の因数の種類がどれだけ増えても、

（原理的には、）余りを求めることができます。

数学の世界では、「どれだけ頑張っても計算できない」と、「大変だけど、頑張れば求められる」ということには、天と地との差ほどがあります。

今回の解説を通じて、計算すれば求められるありがたさが、少しでも伝わっているとうれしいです。

また、今回は、数学IIIで勉強する、「積の微分」「合成関数の微分」を利用しました。

数学III・数学Cでは、新しく学ぶことが増えたり、式の形が複雑だったりと、一見難しそうに見えるのですが、今回の整式の余りを求めるときなど、

• その他の方法では求められない
• 求められたとしても、非常に計算量が増えてしまう

といったときに、非常に重宝するツールとなります。

別のページでは、数学III・数学Cの解説も上げていきますので、ぜひ、楽しみに学んでいただけると幸いです。