解と係数の関係

今回は、解と係数の関係について解説していきます。
高校の授業でも扱う、比較的基本的なテーマのため、1度は勉強されたことがあるものかと思います。

一方で、「解」と「係数」の両方が出てきて、なんとなく複雑そうな形をしているため、どうしても公式として覚えるには覚えにくい、というのが厄介なところだったりします。

そこで今回は、解と係数の使い方と、その逆、そして、私自身も利用している、「解と係数の関係の覚え方」を丁寧に解説しています。

よく使う公式なのにニガテなんだよなー、という方も、慣れればすぐに得意分野にできる、勉強するメリットの大きいテーマですので、ぜひ、少しだけお時間をいただけるとうれしいです。

それでは始めていきましょう！

解説

2次方程式の解と係数の関係（基本対称式との関係）

まずは、2次方程式の場合です。どういう場面で力を発揮するかについても合わせて見ていきましょう。

＜例題＞
2次方程式 \({x}^{2}-x-1=0\) の2つの解を \(\alpha，\)\(\beta\) としたとき、①\({\alpha}^{2}+{\beta}^{2}，\)②\({\alpha}^{3}-{\beta}^{3}\) の値を求めよ

＜解答＞
2次方程式の解と係数の関係より、\(\alpha+\beta={-\frac{-1}{1}}=1，\alpha\beta=\frac{-1}{1}=-1\) と求められます。

ここで、基本公式「\({\alpha}^{2}+{\beta}^{2}={(\alpha+\beta)}^{2}-2\alpha\beta\)」を利用すると、

\[\begin{alignat*}{3}
{\alpha}^{2}+{\beta}^{2}&={(\alpha+\beta)}^{2}-2\alpha\beta \\
&={1}^{2}-2\cdot (-1) \\
&=1+2=3
\end{alignat*}\]

と、①\({\alpha}^{2}+{\beta}^{2}\ \)\(=3\) と求めることができました。

また、基本公式「\({\alpha}^{2}+{\beta}^{2}={(\alpha+\beta)}^{2}-2\alpha\beta\)」「\({\alpha}^{2}+{\beta}^{2}={(\alpha-\beta)}^{2}+2\alpha\beta\)」から、

\[\begin{alignat*}{3}
&{\alpha}^{2}+{\beta}^{2}={\alpha}^{2}+{\beta}^{2} \\
\Leftrightarrow\ &{(\alpha-\beta)}^{2}+2\alpha\beta={(\alpha+\beta)}^{2}-2\alpha\beta \\
\Leftrightarrow\ &{(\alpha-\beta)}^{2}={(\alpha+\beta)}^{2}-4\alpha\beta
\end{alignat*}\]

\[\therefore\ {(\alpha-\beta)}^{2}={1}^{2}-4\cdot (-1)=5\]

\[\therefore\ \alpha-\beta=\pm\sqrt{5}\]

そして、基本公式「\({\alpha}^{3}-{\beta}^{3}={(\alpha-\beta)}^{3}+3\alpha\beta(\alpha-\beta)\)」を利用すると、

\[\begin{alignat*}{3}
{\alpha}^{3}-{\beta}^{3}&={(\alpha-\beta)}^{3}+3\alpha\beta(\alpha-\beta) \\
&={(\pm\sqrt{5})}^{3}+3\cdot(-1)\cdot (\pm\sqrt{5}) \\
&=\pm 5\sqrt{5}\mp 3\sqrt{5}=\pm 2\sqrt{5}
\end{alignat*}\]

と、②\({\alpha}^{3}-{\beta}^{3}\ \)\(=\pm 2\sqrt{5}\) と求めることができました。

なお、途中で利用した、基本公式はこちらで解説しています。非常に重要なものですので、併せて確認しておきましょう。

これで、①\({\alpha}^{2}+{\beta}^{2}，\)②\({\alpha}^{3}-{\beta}^{3}\) の値を求めることができたのですが、2次方程式が与えられているので、

• 愚直に2次方程式を解く
• 得られた2次方程式の解を使って、①②の値を求める

としても、当然、計算することはできます。そこで試しに、この方法でやってみましょう。（あまり乗り気ではないですが。。。）

まず、2次方程式 \({x}^{2}-x-1=0\) を解くと、\(x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\) となります。

そのため①は、

\[\begin{alignat*}{3}
{\alpha}^{2}+{\beta}^{2}&={\biggl(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\biggr)}^{2}+{\biggl(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\biggr)}^{2} \\
&={\small\frac{(1+2\sqrt{5}+5)+(1-2\sqrt{5}+5)}{4}} \\
&=\frac{12}{4}=3
\end{alignat*}\]

また②は、

\[\begin{alignat*}{3}
{\alpha}^{3}-{\beta}^{3}&={\biggl(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\biggr)}^{3}+{\biggl(\frac{1\mp\sqrt{5}}{2}\biggr)}^{3} \\
&={\small\frac{(1\pm3\sqrt{5}+15\pm5\sqrt{5})-(1\mp3\sqrt{5}+15\mp5\sqrt{5})}{8}} \\
&=\frac{\pm 8\sqrt{5}\pm 8\sqrt{5}}{8}=\pm 2\sqrt{5}
\end{alignat*}\]

となり、確かに、先ほど求めた結果と一致しました。

、、、が、どうでしょう。式変形の中に「ルート√」が出てきて、結構注意しないと、計算ミスをしそうじゃないですか？？？（私も3回くらい検算をしました。。。）

あと、単純に、「ルート√」が出てくると、計算が非常にメンドくさいです。

これらのことから、

「解と係数の関係」は、「基本対称式」と組み合わせることによって、非常に大きな力を発揮します！

2次方程式の解と係数の関係の逆

前の章で確認した通り、解と係数の関係は、「計算の省エネ＆計算ミス撲滅」という点から、非常に有用なツールです。

が、実は、これ以外にも使い道があります。それが、「解と係数の関係の逆」というやつです。

「逆」ってなんやねん！というツッコミが聞こえてきそうなので、例題を通じて使い方を見ていきましょう。

具体例

＜例題＞
2つの実数 \(\alpha，\)\(\beta\) \((\alpha>\beta)\) に対して、\(\alpha+\beta=8，\)\(\alpha\beta=6\) という関係があることがわかっている。このとき、\(\alpha，\)\(\beta\) の値を具体的に求めよ。

＜解答＞
2次方程式の解と係数の関係の逆を利用すると、\(\alpha，\)\(\beta\) は2次方程式 \({x}^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\) の解です。

ここに、与えられた条件を代入すると、\({x}^{2}-8x+6=0\) となり、この2次方程式を解くと、\(x=-(-4)\pm\sqrt{{(-4)}^{2}-1\cdot 6}=4\pm\sqrt{10}\)

今、\(\alpha>\beta\) なので、\(\alpha=4+\sqrt{10}，\)\(\beta=4-\sqrt{10}\) と求めることができました。
（\(\sqrt{10}\) が出てきてしまうので、直感で、えいや！と見つけるのは厳しそうです）

逆に、これを使って、\(\alpha+\beta，\)\(\alpha\beta\) を計算してみると、

• \(\alpha+\beta=\) \((4+\sqrt{10})+(4-\sqrt{10})=\) \(8\)
• \(\alpha\beta=\) \((4+\sqrt{10})(4-\sqrt{10})=\) \(16-10=\) \(6\)

となり、確かに、与えられた条件を満たしていることがわかります。

※ちなみに、こちらの「解と係数の関係の逆」を用いて具体的に解を求めるという方法は、3項間漸化式の特性方程式を解く際によく現れる形です。
中堅以上の大学を受験される方は必須のスキルになりますので、ぜひ復習しておきましょう！

「2次方程式の解と係数の関係の逆」の証明

上記の具体例から、「解と係数の関係の逆」と、その使い方は理解いただけたのではないかと思います。
次に、「なぜ、解と係数の関係の逆が成立するのか」という証明をしてみます。

（発展）3次方程式の解と係数の関係

ここまでで、2次方程式の場合の解と係数の関係を見てきましたが、実は、3次方程式の場合にも関係を用意することができます。（もっと言うと、一般的な \(n\) 次の場合にも作ることはでき、その方法は下で紹介しています）

そこで次は、3次方程式の場合の解と係数の関係をご紹介します。
3次くらいまでであれば、普通に2次試験で出題されることがあるので、必ず押さえておきましょう！

＜例題＞
3次方程式 \(2{x}^{3}+5{x}^{2}-4x-6=0\) の3つの解 \(\alpha，\)\(\beta，\)\(\gamma\) に対して、①\({\alpha}^{2}+{\beta}^{2}+{\gamma}^{2}，\)②\({\alpha}^{3}+{\beta}^{3}+{\gamma}^{3}\) の値を求めよ

＜解答＞
3次方程式の解と係数の関係より、\(\alpha+\beta+\gamma=-\frac{5}{2}，\)\(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{-4}{2}=-2，\)\(\alpha\beta\gamma=-\frac{-6}{2}=3\) と求められます。

ここで、基本公式「\({(\alpha+\beta+\gamma)}^{2}=\) \({\alpha}^{2}+{\beta}^{2}+{\gamma}^{2}\) \(+2\alpha\beta+2\beta\gamma+2\gamma\alpha\)」を利用すると、

\[\begin{alignat*}{3}
&{\alpha}^{2}+{\beta}^{2}+{\gamma}^{2} \\
&={(\alpha+\beta+\gamma)}^{2}-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) \\
&={\biggl(-\frac{5}{2}\biggr)}^{2}-2\cdot(-2) \\
&=\frac{25+16}{4}=\frac{41}{4}
\end{alignat*}\]

と、①\({\alpha}^{2}+{\beta}^{2}+{\gamma}^{2}\) \(=\frac{41}{4}\) と求めることができました。

また、基本公式「\({\alpha}^{3}+{\beta}^{3}+{\gamma}^{3}-3\alpha\beta\gamma\) \({\small=(\alpha+\beta+\gamma)({\alpha}^{2}+{\beta}^{2}+{\gamma}^{2}-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)}\)」を利用すると、

\[\begin{alignat*}{3}
&{\alpha}^{3}+{\beta}^{3}+{\gamma}^{3} \\
&{\small=(\alpha+\beta+\gamma)\{{\alpha}^{2}+{\beta}^{2}+{\gamma}^{2}-(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\}} \\
&\qquad\qquad+3\alpha\beta\gamma \\
&=-\frac{5}{2}\cdot\biggl\{\frac{41}{4}-(-2)\biggr\}+3\cdot 3 \\
&=-\frac{173}{8}
\end{alignat*}\]

と、②\({\alpha}^{3}+{\beta}^{3}+{\gamma}^{3}=-\frac{173}{8}\) と求めることができました。

ここで1つ注目したいのが、3次方程式の場合、具体的に解を求めるのは非常に大変ということです。

一応、3次方程式には、「カルダノの公式」というものが存在し、これを使って求めることはできなくはないものの、メチャクチャ複雑で、試験の現場で使えるようなものではありません。

一方で、こちらの例題で見たように、3次方程式の解同士を足したり・掛けたりして得られる結果については、値を求めることができます。これが、「解と係数の関係」を利用する、非常に大きなメリットとなります。

（ちなみに、5次以上の方程式については、解の公式が存在しないことが証明されており、もはや、「解と係数の関係」でしか値を求めることはできません）

解と係数の関係の覚え方と、4次以降の場合

3次方程式までの「解と係数の関係」を見てきましたが、1つ思われたことはないでしょうか。

そうです、ちょっと覚えにくいですよね。

そこで、ここでは、「解と係数の関係の覚え方」をご紹介します。

この方法を使えば、試験中に忘れてしまっても、何とか思い出せると思いますし、さらに、イジワルな問題で、4次以上の解と係数の関係が必要になった場合でもすぐに導出できるようになります。

具体的な場合として、4次方程式の場合を見てみましょう。

＜例題＞
4次方程式 \(\frac{1}{2}{x}^{4}+\frac{11}{2}{x}^{3}+2{x}^{2}-\frac{29}{2}x+6=0\) において、4つの解 \(\alpha，\)\(\beta，\)\(\gamma，\)\(\delta\) と、係数の関係を求めよ

＜解答＞
まずは「係数」側から整理していきます。

1. \(4-1=3\) 次の係数から並べると、\[\frac{11}{2}，2，-\frac{29}{2}，6\]
2. これに対して、\(3\) 次の係数から順に、「－」「＋」「－」「＋」・・・と符号をつけると、\[\begin{alignat*}{3}
   &{-\frac{11}{2}}，+2，{-\biggl(-\frac{29}{2}\biggr)}，+6 \\
   \Leftrightarrow\ &{-\frac{11}{2}}，2，\frac{29}{2}，6
   \end{alignat*}\]
3. それぞれ、\(4\) 次の係数 \(\frac{1}{2}\) で割り算すると、\[\begin{alignat*}{3}
   &{\small-\frac{11}{2}\div\frac{1}{2}，2\div\frac{1}{2}，\frac{29}{2}\div\frac{1}{2}，6\div\frac{1}{2}} \\
   \Leftrightarrow\ &-11，4，29，12
   \end{alignat*}\]

これで、「係数」側の操作は完了です。

次に、「係数」側の結果を、「解」側に割り当てていきます。

1. \(\textcolor{#FF0000}{1}\) 次の和（単純に解を足し算したもの）は、\(4-\textcolor{#FF0000}{1}=3\) 次の結果となります。
   したがって、\(\alpha+\)\(\beta+\)\(\gamma+\)\(\delta=\)\(-11\)
2. \(\textcolor{#FF0000}{2}\) 次の和（2解の掛け算を足し算したもの）は、\(4-\textcolor{#FF0000}{2}=2\) 次の結果となります。
   したがって、\({\small\alpha\beta+}\)\({\small\alpha\gamma+}\)\({\small\alpha\delta+}\)\({\small\beta\gamma+}\)\({\small\beta\delta+}\)\({\small\gamma\delta}=\)\(4\)
3. \(\textcolor{#FF0000}{3}\) 次の和（3解の掛け算を足し算したもの）は、\(4-\textcolor{#FF0000}{3}=1\) 次の結果となります。
   したがって、\({\small\alpha\beta\gamma+}\)\({\small\alpha\beta\delta+}\)\({\small\alpha\gamma\delta+}\)\({\small\beta\gamma\delta}=\)\(29\)
4. \(\textcolor{#FF0000}{4}\) 次の和（4解の掛け算を足し算したもの）は、\(4-\textcolor{#FF0000}{4}=0\) 次（定数項）の結果となります。
   したがって、\(\alpha\beta\gamma\delta=\)\(12\)

これで、4次方程式の場合の、解と係数の関係が得られました。

整理すると、このようになります。
ポイントは、係数に符号をつけるときに、必ず、「－」からつける、ということです。

おわりに

お疲れさまでした！今回は、解と係数の関係について解説してきました。

大学入試は、極論、限られた時間の中で、聞かれた問題にどれだけ多く答えられるか、という勝負になってきます。

そんな中で、思考プロセスは正しくても、計算の効率が悪かったり、計算ミスが多くて手戻りが増えてきてしまうと、どうしても芳しい結果になりづらい、というのがシビアな現実としてあるものと思います。

その意味で、入試においては、できるだけ早く・正確な計算ができるようになることは、問題の発想方法を知ることと同じくらい重要なことになります。（受験生だった頃の私自身への反省です。。。）

今回の解と係数の関係も、すぐに手を動かして自分のものにしていただけるとうれしいです。